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\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}
 
Zu zeigen: Sei die Folge $(a_n)$ definiert als $a_1:=1, a_2:=1$ und für  $n\geq3$ $a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}$. Dann ist $\forall n\in\mathbb{N}: a_n=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}}{\sqrt{5}}$.\newline
\textit{Induktionsanfang:}
$n=1\Rightarrow a_1=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}}{\sqrt{5}}=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$.\newline Tatsächlich ist für $n=1$ lt. Definition $a_n=1$.

\end{document}

\documentclass[12pt]{scrartcl}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
 
\minisec{Zu zeigen:}% oder auch \paragraph*{Zu zeigen:}
Sei die Folge $(a_n)$ definiert als $a_1:=1, a_2:=1$ und für  $n\geq3$
$a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}$. Dann ist:
\begin{align*}
  \forall n\in\mathbb{N}:
  a_n &=
  \frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}}{\sqrt{5}}.\\
\intertext{Induktionsanfang:}
n=1\Rightarrow
a_1 &
=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}}{\sqrt{5}}\\
   &
   =\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}}{\sqrt{5}}\\
   & =\frac{\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}\\
   &=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\
   &=1.
\end{align*}
Tatsächlich ist für $n=1$ laut Definition $a_n=1$.
\end{document}